Mayo


LUNES 4 DE MAYO

Ecuaciones de Cauchy-Riemann 
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones.
Sea una función compleja f(z), con z=x+iy. Se sabe que f(z) se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables u y v, de manera que f(z)=f(x,y)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y). Si la función f(z) es derivable en un punto z_0=x_0+iy_0 entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:
u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)
u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0)

donde u_x significa la derivada parcial de la función u respecto a la variable x, usualmente simbolizado \frac{\partial u}{\partial x} . Análogamente para u_y, v_x y v_y.
Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:
f '(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)-iu_y(x_0,y_0)

FUNCIONES ANALÍTICAS


f(Z), función compleja se dice que es funcion analítica en Zo ssi , f(Z) es derivable para todo Z en algun disco abierto D de centro Zo, de forma concreta D: |Z-Zo| < r

JUEVES 7 DE MAYO

FUNCIONES ARMÓNICAS

Sea f(z) una función analítica que satisface las ECR 

Entonces si se cumple que : 

                    d^2u + d^2u = 0  ^  d^2v + d^2v = 0   
                         dx^2    dy^2            dx^2   dy^2

Se dice que : u(x,y) ^v(x,y)  son funciones armónicas

 ∇^2u =  d^2u + d^2u = 0   
                       dx^2    dy^2                  Ecuaciones de laplace
 ∇ ^2v = d^2v + d^2v = 0   
                       dx^2    dy^2     

  • u(x,y) ^ v(x,y) se dice que son funciones conjugadas armónicas una de la otra.
  • Toda función f(z)=u(x,y) + iv(x,y) que satisface las ecuaciones de laplace se llaman funciones armónicas.
  • Se pueden denotar también :
                    uxx+uyy=0
                    vxx+vyy=0
  • En física se conocen como ecuaciones de potencial.
EJEMPLO:

JUEVES 14 Y JUEVES 21
EJEMPLO:

LUNES 25 DE MAYO
TEOREMA INTEGRAL DE CAUCHY
Si f(z) es analítica en un dominio simplemente conexo D y su derivada es continua en D entonces para cualquier contorno cerrado simple contenido en D se tiene:
\oint_C f(z)dz = 0
FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY

Enunciado 1

Sea f(z) una función analítica en un dominio simplemente conexo D. Entonces para cualquier punto z_0 \, contenido en el interior de D y para cualquier camino C cerrado simple también contenido en el interior de D que contenga al punto se tiene
\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i\cdot f(z_0)
donde la integración está tomada en sentido antihorario.

Enunciado 2

Sea f \, una función analítica sobre \gamma, \gamma un camino (una curva diferenciable con continuidad a trozos) cerrado y z_0\notin \gamma
f(z_0) = \frac{1}{2 \pi i \cdot I_\gamma(z_0)} \oint_{\gamma}\frac{f(\omega)}{\omega-z_0} d\omega
Siendo z_0 \, un punto que no esté sobre \gamma , I_\gamma(z_0) \, el índice del punto respecto a la curva (el número de veces que la curva rodea al punto teniendo en cuenta el sentido con que lo hace).

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