Junio

LUNES 1 DE JUNIO

SUCESIONES Y SERIES

• Las sucesiones y series de variable compleja son similares a las sucesiones y series de variable real.

• El análisis de convergencia se realiza de igual manera que para el caso de la variable real.

• Una serie especialmente para variables complejas es la serie de Laurent

SUCESIONES

Propiedad:
Sea zn= xn + yni, para cada entero positivo n y L= a + bi, entonces se tiene que: 

Además, si: {zn} --> L y {wn} --> K, se cumple que:

• {zn + wn} --> L + K
• {α zn} --> α L
• {zn * wn} --> L * K
• {zn / wn} --> L / K ; Donde k≠0 al igual que wn≠0

SERIES

Si se suma los elementos de una sucesión se obtiene una serie que se representa por:

* La convergencia de la serie compleja se analiza con los criterios de las series reales.
{zn}={i0,i1,i2,i3,...,in}
∑∞n=0in=i0+i1+i2+i3+...+in

PROPIEDADES

Series Reales Divergentes:

∑n=1∞1n

∑n=1∞1n√

∑n=1∞(−1)n

∑n=1∞4nn(n+1)

∑n=1∞1+n1+n2

Series Reales Convergentes:

∑n=1∞1n2

∑n=1∞1n!

∑n=1∞1n(n+1)

∑n=1∞n+1(n3+1)

∑n=1∞(n+1n)n

Series especiales:

 Serie geométrica:

Serie armónica:

Serie "P":

Criterios de convergencia:

 Criterio de la razón de D´Alembert

JUEVES 4 DE JUNIO

Criterio de la raíz

LUNES 8 DE JUNIO

TEOREMA

Series de Taylor
-Una función analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja de forma similar a las funciones reales.

Si f es analítica en z0,f tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor representada por

f(z)=∑∞n=0f(n)(z0)n!(z−z0)n  Serie de Taylor

Si z0=0, entonces la serie toma el  nombre de serie de Maclaurin

f(z)=∑∞n=0f(n)(0)n!(z)n  Serie de Maclaurin

JUEVES 11 DE JUNIO

Series de Laurent

Si f(z) no es analítica en zo, entonces no se desarrolla mediante una serie de Taylor. De esta manera, se define la serie de Laurent (propia de las funciones de variable compleja).

Sea f: D subconjunto de los complejos C   ---->  C, y una función analítica dentro y sobre la frontera de D (región anular), entonces:                                                                                 

Donde an y bn son coeficientes

Teorema:

Sea f (z) analítica en el anillo r < |z - zo| < R, entonces para todo z en este anillo: 

Donde:

• n= 0, +/- 1, +/- 2, +/- 3, ...
• γ es cualquier circunferencia |z - zo|= P 
• r < P < R 

LUNES 15 DE JUNIO

Teorema del residuo

- En la teoría de los números reales se consideran puntos críticos o aquellos valores que toma la variable x , para los cuales f(x) no se define.
- En los números complejos a estos valores que toma "z", tales que f(z) no se define se les denomina singularidades.

Singularidades

En la teoría de los números reales se consideran puntos críticos a aquellos valores que toma la variable x, para los cuales f(x) no se define. Mientras que, en los números complejos; a los valores que toma z, tales que f(z) no se define se les conoce como singularidades.

Si f(z) es analítica en todo el dominio D, siendo D un anillo 0 < |z - zo| < r, excepto en zo.Se considera que este zo constituye una singularidad de f(z). 

Polos

Si g(z) es una función analítica en todo el dominio D,  siendo D un anillo 0 < |z - zo| < r, y f(z) la función descrita por la Figura 1; entonces, zo es un polo de orden n. 

Figura 1

Se puede demostrar que zo es un polo de orden n si:

Residuo

Si la función f(z) tiene un polo en zj. El residuo de f en zj es a-1 y se calcula mediante:

Teorema del residuo:

Si f(z) es analítica en D, excepto en Z1, Z2, ... , Zj; donde f tiene singularidades. Sea γ una curva cerrada suave o suave por intervalos en D que encierra a Z1, Z2, ... , Zj; entonces:

JUEVES 18 DE JUNIO

Evaluación sobre series

LUNES 22 DE JUNIO

Exposición Grupo 1_ Funciones periódicas y ortogonales

JUEVES 25 DE JUNIO

Exposición Grupo 2_ Series de fourier

LUNES 29 DE JUNIO

Exposición Grupo 3_ Series de Fourier de funciones pares e impares