Abril

6 de Abril

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9 de Abril

NÚMEROS COMPLEJOS

Multiplicación de números complejos

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.

El número a es la parte real del número complejo.

El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por .

Los números complejos a + bi y -a -bi se llaman opuestos.

Los números complejos z= a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real.

El eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a + bi se representa:

 Por el punto (a, b), que se llama su afijo.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo:

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo:

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

23 de Abril

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo:

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

     

z = r_α

|z| = r (r es el módulo)}

arg(z) = α  (α es el argumento)

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos.

Su argumento es la suma de los argumentos.

     

Ejemplo:

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos.

Su argumento es la diferencia de los argumentos.

     

Ejemplo:

23 DE ABRIL

POTENCIA DE COMPLEJOS

La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.

Su argumento es n veces el argumento dado.

     

Ejemplo:

27 de Abril

La función exponencial 

La Fórmula o relación de Euler, establece que:

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es launidad imaginaria,  y  son las funciones trigonométricas seno y coseno.

O bien se suele expresar como:

siendo  la variable compleja definida por 

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:

Estas fórmulas sirven asimismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos . Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas

para el seno y el coseno.

Logaritmos complejos

Para definir una fórmula para Log z, se empieza con la representación de z en forma polar, z = re^iθ. Dado z, la forma polar no es única debido a la posibilidad de sumar un múltiplo entero de 2π a θ, pero puede hacerse única bajo el requisito de que θ caiga en el intervalo (−π,π]; este θ se denomina valor principal del argumento, y normalmente se escribe como Arg z. Entonces, el valor principal del logaritmo puede escribirse como

Por ejemplo, Log(-3i) = ln 3 − πi/2.

23 de Abril

FUNCIONES COMPLEJAS

Recordemos que una función real $f$ de variable real sobre un conjunto de números reales es una función que asigna a un número real $x$ ∈D otro número real $y$ = f(x).

Este concepto se generaliza fácilmente al caso complejo:

Una función compleja de variable compleja $f$ definida sobre un conjunto $D$ de números complejos es una función que asigna a cada número complejo $z$ ∈D otro número complejo $w$ = f(z) y la representamos con la notación $f$ : D→ℂ.

El conjunto $D$ se llama, igual que en el caso de las funciones reales,dominio de $f$. Igualmente, el conjunto de las imágenes de $f$ se llama imagen de $f$

$$

$$27 de Abril

Límites y Continuidad de una Función Compleja de Variable Compleja

Sea  ƒ: D ⊆ C → C, una función compleja de variable compleja z, definida en la región D ⊆ C excepto posiblemente en Z0 entonces diremos que el límite de f(z) es el número complejo L cuando z se aproxima a Z0 , si y sólo sí, para todo ξ>0, existe un  δ>0, tal que:

0< ||z- Z0||< δ, entonces ||f(z) –L||< ξ

Propiedades:

Se dice que lim (z)→(z0) f(z) = ∞ si para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si |z − z0| < δ, entonces |f(z)| > M.

Se dice que lim (z)→∞ f(z) = l si para todo ε > 0 existe N > 0 tal que si |z| > N, entonces |f(z)−l| < ε.

Por último, diremos que lim (z)→∞ f(z) = ∞si para todo M > 0 existe N > 0 de manera que si |z| > N, entonces |f(z)| > M.

Los límites de funciones de variable compleja tienen las siguientes propiedades que son análogas a aquellas de los límites de funciones del plano.

(L1) Si el límite existe, entonces es único.

(L2) lim (z)→(z0)f(z) = l si y sólo si lim (z)→(z0) Ref(z) = Rel ylim (z)→(z0) Imf(z) = Iml.

Continuidad de una Función Compleja

Una vez estudiada la noción de límite de una función de variable compleja, pasamos a abordar la continuidad de las misma. Como en el caso real una función f : A ⊆ C → C se dirá continua en z0 ∈ A si existe el límite de f(z) cuando z→z0 y además lim (z)→(z0), f(z) = f(z0).

La función f se dirá continua en A si es continua en todo punto de A.

$$

Como no podía ser de otra manera, la continuidad de f ocurre si y sólo si son continuas la funciones coordenadas Ref e Imf.

$$

30 de Abril

Derivadas de Funciones Complejas

Aunque la definición es idéntica en su forma a la derivada real, pues f : A ⊆ C → C se dirá derivable en z0 ∈ Int(A) si existe y es finito el límite.